Fluidos: Solución de Blasius

1.     PROBLEMA CLASICO DE BLASIUS

1.1. Modelo matemático y teoría de capa límite

Se considera las ecuaciones de transporte y continuidad para un fluido viscoso e incompresible en dos dimensiones, que son las que gobiernan la física del fenómeno de capa limite sobre una placa. Una debilidad de la teoría de capa límite es que no se puede predecir el comportamiento del flujo en la zona separada (M. White, 1998).

Prandtl en 1904 dedujo correctamente que la capa de corte debe de ser muy delgada (por esta razón se desprecia las fuerzas de cuerpo) si el número de Reynolds es grande, las siguientes evaluaciones del orden de magnitud de los términos son clásicas para la teoría de capa límite:

En pocas palabras el momentum en “y” es despreciable comparado con el momentum en “x”. La presión se puede considerar en función de “x” y se puede aproximar el gradiente de presión con la ecuación de Bernoulli, aplicable solo en la parte externa de la capa límite:

Aplicando una derivada con respecto a “x”:

Las ecuaciones resultantes son:

Condiciones de frontera:

Blasius en 1908 cambio las variables independientes “x” y “y” una por medio de una técnica de transformación de semejanza, con esta técnica cambia un ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, resultando:

Esta ecuación es ordinaria, no lineal y sus condiciones de fronteras son:

El problema la ecuación es en la inicialización de los valores para . En el trabajo de (Wang, 2004) utilizó el método de Descomposición de Adomain, para esto la incógnita es   del cual se obtiene una ecuación aproximada:

Otras soluciones encontradas en el trabajo de (Cortell, 2005) son:

1.2. Esquema numérico y solución

Para resolver numéricamente establezco el siguiente sistema de ecuaciones de diferencias finitas que establece el trabajo (M. Akdi & M. B. Sedra, 2014), donde a=2.

Figura 1. Curvas solución, ecuación de Blasius.

Figura 2. Tabla de resultados

1.3 Código de Solución MATLAB

%solucion Blasius 2*f''' + f*f'' = 0

clear all

close all

clc

%condiciones numéricas

dx=0.01; %incremento

xi=0; xf=9.0 %Intervalo

%condicion inicial

f(1)=0;

f1(1)=0;

f2(1)=0.332068884; %Condicion supuesta, solucion de Blasius

f3(1)=-0.5*f(1)*f2(1);

N(1)=0;

for i=2:(xf-xi)/dx

   N(i)=N(i-1)+dx;

   f(i)=f(i-1)+dx*f1(i-1);

   f1(i)=f1(i-1)+dx*f2(i-1);

   f2(i)=f2(i-1)+dx*f3(i-1);

   f3(i)=-0.5*f(i)*f2(i);

end

%Tabla para comparación

a=11;

ff(1)=f(a); f11(1)=f1(a); f22(1)=f2(a); f33(1)=f3(a); NN(1)=N(a);

for k=2:9

    NN(k)=N(a+10*k);

    ff(k)=f(a+10*k);

    f11(k)=f1(a+10*k);

    f22(k)=f2(a+10*k);

    f33(k)=f3(a+10*k);

end

V=[N',f',f1',f2',f3'];

VV=[N(1),f(1),f1(1),f2(1),f3(1);

    NN',ff',f11',f22',f33'];

%Graficas f, f1, f2, f3

hold on

plot(N(:),f(:), '-k', 'linewidth', 1.2);

plot(N(:),f1(:), '-b', 'linewidth', 1.2);

plot(N(:),f2(:), '-g', 'linewidth', 1.2);

plot(N(:),f3(:), '-r', 'linewidth', 1.2);

hold off

filename=('curva para f ');

filename1=('curva para df/dn');

filename2=('curva para d^2f/dn^2 ');

filename3=('curva para d^3f/dn^3 ');

legend(filename,filename1,filename2,filename3, 'location','northwest');

xlabel('Parametro N')

ylabel('valor de la funcion f(N) y sus derivadas');

title('Ecuacion de Blasius d^3f(N)/dN^3 + 0.5*f(N)*(d^2f(N)/dN^2)')

grid minor

1.     REFERENCIAS

Cortell, R. (2005). Numerical Solutions of the Classical Blasius Flat-Plate Problem. Applied Mathematical and Computation, Vol. 170, pag 706-710.

M. Akdi, & M. B. Sedra. (2014). Numerical Solution of the Blasius Problem. The African Review of Physics, Vol. 9:0022, pag 165-168.

M. White, F. (1998). Fluid Mechanics. United State of America: McGraw Hill.

Wang, L. (2004). A New Algorithm for Solving Classical Blasius Equation. Applied Mathematical and Computation, Vol. 159, pag 1-9.